Sistem Bilangan Kompleks

Pada awalnya bilangan kompleks diperkenalkan karena tidak ada bilangan ril $x$ yang memenuhi persamaan polinom $x^2+1=0$ atau persamaan yang serupa dengan itu.
        Bilangan kompleks mempunyai bentuk khas $z=a+bi$ dimana $a$ dan $b$ bilangan ril contohnya $z=2+3i$ . $a$ disebut bagian ril, $b$ disebut bagian imajiner dan $i$ adalah satuan imajiner yaitu $i=\sqrt{-1}$. Dua bilangan kompleks $z=a+bi$ dan $z=c+di$ dikatakan sama jika dan hanya jika $a=b$ dan $b=d$ . Bilangan ril dapat ditinjau sebagai sebuah subhimpunan bilangan kompleks dengan $b = 0$. Bilangan kompleks $z=0+0i$ bersesuaian dengan bilangan ril $0$.
        Nilai mutlak atau modulus dari $z$ didefinisikan dengan $|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$. Sekawan kompleks (complex conjugate) dari $z$ didefinisikan dengan $z^*=a-bi$, kadang dituliskan dengan $z ̅$. Himpunan bilangan kompleks menuruti kaidah operasi bilangan ril sehingga himpunan tersebut membentuk sebuah medan. Dalam mengoprasikan bilangan-bilangan kompleks , kita dapat beroperasi seperti aljabar bilangan ril, dengan menggantikan $i^2$ oleh -1 jika bertemu dengan $i^2$. Ketaksamaan atau pertidaksamaan tidak didefinisikan untuk bilangan kompleks.
       Dari segi pandangan dasar aksiomatik bilangan kompleks, maka diinginkan untuk memperlakukan sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan terorde $(a,b)$ dari bilangan ril $a$ dan $b$ yang menuruti kaidah-kaidah operasional tertentu yang ternyata setara dengan kaidah-kaidah yang di atas. Misalnya didefinisikan $(a,b)+(c,d) = (a+c , b+d)$, $(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)$ dan lain sebainya.

Bentuk polar bilangan kompleks
Jika skala ril dipilih pada dua sumbu yang saling tegak lurus $X’OX$ dan $Y’OY$ ( sumbu $x$ dan sumbu $y$), maka dapat diletakan sembarang titik dalam bidang yang ditentukan oleh garis-garis ini dengan pasangan terorde dari bilangan $(x,y)$ yang merupakan koordinat siku-siku titik tersebut.

              Karena sebuah bilangan kompleks $z=x+iy$ dapat ditinjau sebagai sebuah pasangan terorde $(x,y)$, maka bilangan seperti itu dapat dinyatakan dengan sebuah titik pada bidang $xy$ yang dinamakan bidang kompleks atau diagram Argand.
             Dengan melihat gambar di atas , maka terlihat bahwa $x=ρ \cos⁡φ $, $y=ρ\sin⁡φ$, dimana $ρ=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2 }$ dan $φ$ adalah amplitude atau argument, adalah sudut yang dibuat oleh $OP$ dengan sumbu $x$ positif $OX$. Jelaslah bahwa $z=x+iy=ρ(\cos⁡φ+i\sin⁡φ )$ yang dinamakan bentuk polar bilangan kompleks, dimana $ρ$ dan $φ$ dinamakan koordinat polar. Kadang-kadang $ \cos⁡φ+i\sin⁡φ$ untuk kemudahan suka ditulis $cisφ$ sebagai gantinya.
           Jika $z_1=x_1+iy_1=ρ_1 (\cos⁡φ_1 +i \sin⁡φ_1)$ dan $z_2=x_2+iy_2=ρ_2 (\cos⁡φ_2+i\sin⁡φ_2)$ Maka dapat diperlihatkan bahwa

$z_1 z_2=ρ_1 ρ_2 (\cos(φ_1+φ_2 )+i \sin(φ_1+φ_2 ) )$

$\frac{z_1 }{z_2} =\frac{ρ_1}{ρ_2} (\cos⁡(φ_1-φ_2 )+i\sin⁡(φ_1-φ_2 ) )$

$z^n=ρ^n (\cos ⁡nφ+i\sin ⁡nφ )$ dimana $n$ adalah sembarang bilangan ril. Persamaan ini disebut teorema DeMoivre .

Kita dapat menggunakan teorema ini untuk menentukan akar bilangan kompleks. Misalnya jika $n$ adalah bilangan bulat positif, maka:
$z^{\frac{1}{n}}=ρ^{\frac{1}{n}}(\cos nφ+i\sin⁡ nφ )^\frac{1}{n}=ρ^{\frac{1}{n}}(\cos⁡(\frac{φ+2kπ}{n})+i\sin⁡(\frac{φ+2kπ}{n})); k=0,1,2,…,n-1$