UKURAN PENYEBARAN DATA
A. Rentang
Rentang adalah data terbesar dikurangi data terkecil. Untuk data yang sudah disajikan dalam table frekuensi, rentang dapat dihitung dengan rumus
$R=x_{n}-x_{1}$
dimana:
$R$: rentang
$x_{n}$: nilai tengah kelas tertinggi
$x_{1}$: nilai tengah kelas terendah
Contoh 1. Perhatikan table di bawah !.
Table 1
Rentangnya adalah $R=x_{n}-x_{1}=\frac{90+94}{2}-\frac{60+64}{2}=92-62=30$
B. Rentang Antar Kuartil
Rentang Antar Kuartil adalah selisih kuartil terbesar dikurangi kiartil terkecil.
$RAK=K_{3}-K_{1}$
dimana:
$RAK$: rentang antar kuartil
$K_{3}$: kuartil ketiga
$K_{1}$: kuartil pertama
Contoh 2. Perhatikan table 1!. Jika dihitung , nilai $K_{1}=69,5$ dan $K_{3}=85,0$ (lihat contoh 1 pada pos tentang kuartil, desil dan persentil). Maka
$RAK=85,0-69,5=15,5$
C. Simpangan Kuartil
Simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil.
$SK=\frac{1}{2}RAK$
Contoh 3. Simpangan kuartil pada table 1 dengan melihat contoh 2 adalah
$SK=\frac{1}{2}(15,5)=7,75$
D. Simpangan Rata-rata
Misalkan kita mempunyai data $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ dengan rataannya \bar{x}. Dengan konsep rentang data kita dapat menentukan rentang tiap data terhadap rataan. Mengingat rentang atau jarak selalu bernilai positif, maka konsep nilai mutlak harus digunakan agar tidak ada jarak yang bernilai negative. Selanjutnya rentang tiap data terhadap rataannya akan berbentuk $|x_{1}-\bar{x}|$, $|x_{2}-\bar{x}|$,…,$|x_{n}-\bar{x}|$. Dengan menjumlahkan semua rentang dan membaginya dengan banyak data maka didapat simpangan rata-rata
\[ SR= \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\]
Untuk data berdistribusi yang memiliki frekuensi dalam tiap interval atau kelompok maka
\[ SR= \frac{\sum_{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n}f_{i}}\]
dimana
$SR$: simpangan rata-rata
$x_{i}$: nilai data ke-i (data tunggal) atau nilai tengah kelas ke-i (data berdistribusi)
$\bar{x}$: rata-rata
$n$: banyak data (data tunggal)
$f_{i}$: frekuensi kelas ke-i (data berdistribusi)
Contoh 4. Diketahui data berikut 75,78,77,80,86. Tentukan simpangan rata-ratanya !
Jawab:
$\bar{x}=\frac{75+78+77+80+86}{5}=\frac{396}{5}=79,2$
$SR= \frac{\sum_{i=1}^5|x_{i}-79,2|}{5}=3,04$
Contoh 5. Tentukan simpangan rata-rata pada table.1
jawab:
Jadi, simpangan rata-rata $SR=7,39$
E. Simpangan Baku dan Ragam (varian)
Menurut ahli statistika, simpangan rata-rata memiliki kelemahan karena menggunakan harga mutlak yang berakibat tidak bisa membedakan antara rentang yang lebih besar dan rentang yang lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, ahli statistika memperkenalkan simpangan baku atau standar deviasi (populasi) yang dirumuskan sbb:
$SB=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^2}$
dimana
$SB$: simpangan baku
$x_{i}$: nilai data ke-i (data tunggal) atau nilai tengah kelas ke-i (data berdistribusi)
$f_{i}$: frekuensi kelas ke-i (data berdistribusi)
$\bar{x}$: rata-rata
$n$: banyak data
Sedangkan rumus ragam atau varian (populasi) adalah sbb:
$Var=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^2$
dimana $Var$: ragam atau varian
Simpangan baku dan varian dapat dihubungkan dengan hubungan singkat
$Var={SB}^2$ atau $SB=\sqrt{{Var}}$
Contoh 6. Tentukan a) ragam , dan b) simpangan baku pada table 1!.
Jawab:
maka
a)ragam atau varian $Var= 71,86$
b)simpangan baku $SB=\sqrt{Var}=8,48$
A. Rentang
Rentang adalah data terbesar dikurangi data terkecil. Untuk data yang sudah disajikan dalam table frekuensi, rentang dapat dihitung dengan rumus
$R=x_{n}-x_{1}$
dimana:
$R$: rentang
$x_{n}$: nilai tengah kelas tertinggi
$x_{1}$: nilai tengah kelas terendah
Contoh 1. Perhatikan table di bawah !.
| kelas | frekuensi |
| 60-64 | 3 |
| 65-69 | 7 |
| 70-74 | 6 |
| 75-79 | 9 |
| 80-84 | 4 |
| 85-89 | 10 |
| 90-94 | 1 |
| jumlah | 40 |
Rentangnya adalah $R=x_{n}-x_{1}=\frac{90+94}{2}-\frac{60+64}{2}=92-62=30$
B. Rentang Antar Kuartil
Rentang Antar Kuartil adalah selisih kuartil terbesar dikurangi kiartil terkecil.
$RAK=K_{3}-K_{1}$
dimana:
$RAK$: rentang antar kuartil
$K_{3}$: kuartil ketiga
$K_{1}$: kuartil pertama
Contoh 2. Perhatikan table 1!. Jika dihitung , nilai $K_{1}=69,5$ dan $K_{3}=85,0$ (lihat contoh 1 pada pos tentang kuartil, desil dan persentil). Maka
$RAK=85,0-69,5=15,5$
C. Simpangan Kuartil
Simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil.
$SK=\frac{1}{2}RAK$
Contoh 3. Simpangan kuartil pada table 1 dengan melihat contoh 2 adalah
$SK=\frac{1}{2}(15,5)=7,75$
D. Simpangan Rata-rata
Misalkan kita mempunyai data $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ dengan rataannya \bar{x}. Dengan konsep rentang data kita dapat menentukan rentang tiap data terhadap rataan. Mengingat rentang atau jarak selalu bernilai positif, maka konsep nilai mutlak harus digunakan agar tidak ada jarak yang bernilai negative. Selanjutnya rentang tiap data terhadap rataannya akan berbentuk $|x_{1}-\bar{x}|$, $|x_{2}-\bar{x}|$,…,$|x_{n}-\bar{x}|$. Dengan menjumlahkan semua rentang dan membaginya dengan banyak data maka didapat simpangan rata-rata
\[ SR= \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}\]
Untuk data berdistribusi yang memiliki frekuensi dalam tiap interval atau kelompok maka
\[ SR= \frac{\sum_{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n}f_{i}}\]
dimana
$SR$: simpangan rata-rata
$x_{i}$: nilai data ke-i (data tunggal) atau nilai tengah kelas ke-i (data berdistribusi)
$\bar{x}$: rata-rata
$n$: banyak data (data tunggal)
$f_{i}$: frekuensi kelas ke-i (data berdistribusi)
Contoh 4. Diketahui data berikut 75,78,77,80,86. Tentukan simpangan rata-ratanya !
Jawab:
$\bar{x}=\frac{75+78+77+80+86}{5}=\frac{396}{5}=79,2$
$SR= \frac{\sum_{i=1}^5|x_{i}-79,2|}{5}=3,04$
Contoh 5. Tentukan simpangan rata-rata pada table.1
jawab:
| kelas | $f_i$ | $x_i$ | $f_i.x_i$ | $|x_{i}-\bar{x}|$ | $f_{i}.|x_{i}-\bar{x}|$ |
| 60-64 | 3 | 62 | 186 | 14,75 | 44,25 |
| 65-69 | 7 | 67 | 469 | 9,75 | 68,25 |
| 70-74 | 6 | 72 | 432 | 4,75 | 28,5 |
| 75-79 | 9 | 77 | 693 | 1,75 | 15,75 |
| 80-84 | 4 | 82 | 328 | 5,25 | 21 |
| 85-89 | 10 | 87 | 870 | 10,25 | 102,5 |
| 90-94 | 1 | 92 | 92 | 15,25 | 15,25 |
| jumlah | 40 | 3070 | 295,5 | ||
| $\bar{x}= \frac{3070}{40}=76,75$ | $SR=\frac{295,5}{40}=7,39$ |
Jadi, simpangan rata-rata $SR=7,39$
E. Simpangan Baku dan Ragam (varian)
Menurut ahli statistika, simpangan rata-rata memiliki kelemahan karena menggunakan harga mutlak yang berakibat tidak bisa membedakan antara rentang yang lebih besar dan rentang yang lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, ahli statistika memperkenalkan simpangan baku atau standar deviasi (populasi) yang dirumuskan sbb:
$SB=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^2}$
dimana
$SB$: simpangan baku
$x_{i}$: nilai data ke-i (data tunggal) atau nilai tengah kelas ke-i (data berdistribusi)
$f_{i}$: frekuensi kelas ke-i (data berdistribusi)
$\bar{x}$: rata-rata
$n$: banyak data
Sedangkan rumus ragam atau varian (populasi) adalah sbb:
$Var=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^2$
dimana $Var$: ragam atau varian
Simpangan baku dan varian dapat dihubungkan dengan hubungan singkat
$Var={SB}^2$ atau $SB=\sqrt{{Var}}$
Contoh 6. Tentukan a) ragam , dan b) simpangan baku pada table 1!.
Jawab:
| kelas | $f_i$ | $x_i$ | $f_i.x_i$ | $(x_{i}-\bar{x})^{2}$ | $f_{i}.(x_{i}-\bar{x})^{2}$ |
| 60-64 | 3 | 62 | 186 | 217,5625 | 652,6875 |
| 65-69 | 7 | 67 | 469 | 95,0625 | 665,4375 |
| 70-74 | 6 | 72 | 432 | 22,5625 | 135,375 |
| 75-79 | 9 | 77 | 693 | 3,0625 | 27,5625 |
| 80-84 | 4 | 82 | 328 | 27,5625 | 110,25 |
| 85-89 | 10 | 87 | 870 | 105,0625 | 1050,625 |
| 90-94 | 1 | 92 | 92 | 232,5625 | 232,5625 |
| jumlah | 40 | 3070 | 2874,5 | ||
| $\bar{x}= \frac{3070}{40}=76,75$ | $Var=\frac{2874,5}{40}=71,86$ |
maka
a)ragam atau varian $Var= 71,86$
b)simpangan baku $SB=\sqrt{Var}=8,48$
No comments:
Post a Comment