Mencari Simpangan Rata-rata, Simpangan Baku dan Varian

UKURAN PENYEBARAN DATA 

A. Rentang 
Rentang adalah data terbesar dikurangi data terkecil. Untuk data yang sudah disajikan dalam table frekuensi, rentang dapat dihitung dengan rumus

$R=x_{n}-x_{1}$

dimana:
$R$: rentang
$x_{n}$: nilai tengah kelas tertinggi
$x_{1}$: nilai tengah kelas terendah

Contoh 1. Perhatikan table di bawah !.

kelas	frekuensi
60-64	3
65-69	7
70-74	6
75-79	9
80-84	4
85-89	10
90-94	1
jumlah	40

Table 1

Rentangnya adalah $R=x_{n}-x_{1}=\frac{90+94}{2}-\frac{60+64}{2}=92-62=30$

B. Rentang Antar Kuartil
Rentang Antar Kuartil adalah selisih kuartil terbesar dikurangi kiartil terkecil.

$RAK=K_{3}-K_{1}$

dimana:
$RAK$: rentang antar kuartil
$K_{3}$: kuartil ketiga
$K_{1}$: kuartil pertama

Contoh 2. Perhatikan table 1!. Jika dihitung , nilai $K_{1}=69,5$ dan $K_{3}=85,0$ (lihat contoh 1 pada pos tentang kuartil, desil dan persentil). Maka

 $RAK=85,0-69,5=15,5$

C. Simpangan Kuartil 
Simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil.

$SK=\frac{1}{2}RAK$

Contoh 3. Simpangan kuartil pada table 1 dengan melihat contoh 2 adalah

$SK=\frac{1}{2}(15,5)=7,75$ 

D. Simpangan Rata-rata 
Misalkan kita mempunyai data $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ dengan rataannya \bar{x}. Dengan konsep rentang data kita dapat menentukan rentang tiap data terhadap rataan. Mengingat rentang atau jarak selalu bernilai positif, maka konsep nilai mutlak harus digunakan agar tidak ada jarak yang bernilai negative. Selanjutnya rentang tiap data terhadap rataannya akan berbentuk $|x_{1}-\bar{x}|$, $|x_{2}-\bar{x}|$,…,$|x_{n}-\bar{x}|$. Dengan menjumlahkan semua rentang dan membaginya dengan banyak data maka didapat simpangan rata-rata

  $$SR= \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{x}|}{n}$$

 Untuk data berdistribusi yang memiliki frekuensi dalam tiap interval atau kelompok maka

  $$SR= \frac{\sum_{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n}f_{i}}$$

 dimana
$SR$: simpangan rata-rata
$x_{i}$: nilai data ke-i (data tunggal) atau nilai tengah kelas ke-i (data berdistribusi)
$\bar{x}$: rata-rata
$n$: banyak data (data tunggal)
$f_{i}$: frekuensi kelas ke-i (data berdistribusi)

Contoh 4. Diketahui data berikut 75,78,77,80,86. Tentukan simpangan rata-ratanya !

Jawab:
$\bar{x}=\frac{75+78+77+80+86}{5}=\frac{396}{5}=79,2$
$SR= \frac{\sum_{i=1}^5|x_{i}-79,2|}{5}=3,04$

 Contoh 5. Tentukan simpangan rata-rata pada table.1

jawab:

kelas	$f_i$	$x_i$	$f_i.x_i$	$|x_{i}-\bar{x}|$	$f_{i}.|x_{i}-\bar{x}|$
60-64	3	62	186	14,75	44,25
65-69	7	67	469	9,75	68,25
70-74	6	72	432	4,75	28,5
75-79	9	77	693	1,75	15,75
80-84	4	82	328	5,25	21
85-89	10	87	870	10,25	102,5
90-94	1	92	92	15,25	15,25
jumlah	40		3070		295,5
			$\bar{x}= \frac{3070}{40}=76,75$		$SR=\frac{295,5}{40}=7,39$

Jadi, simpangan rata-rata $SR=7,39$

E. Simpangan Baku dan Ragam (varian) 
Menurut ahli statistika, simpangan rata-rata memiliki kelemahan karena menggunakan harga mutlak yang berakibat tidak bisa membedakan antara rentang yang lebih besar dan rentang yang lebih kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, ahli statistika memperkenalkan simpangan baku atau standar deviasi (populasi) yang dirumuskan sbb:

$SB=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^2}$

 dimana
$SB$: simpangan baku
$x_{i}$: nilai data ke-i (data tunggal) atau nilai tengah kelas ke-i (data berdistribusi)
$f_{i}$: frekuensi kelas ke-i (data berdistribusi)
$\bar{x}$: rata-rata
$n$: banyak data

Sedangkan rumus ragam atau varian (populasi) adalah sbb: 

$Var=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^2$

dimana $Var$: ragam atau varian

 Simpangan baku dan varian dapat dihubungkan dengan hubungan singkat

 $Var={SB}^2$ atau $SB=\sqrt{{Var}}$

 Contoh 6. Tentukan a) ragam , dan b) simpangan baku pada table 1!.

Jawab:

kelas	$f_i$	$x_i$	$f_i.x_i$	$(x_{i}-\bar{x})^{2}$	$f_{i}.(x_{i}-\bar{x})^{2}$
60-64	3	62	186	217,5625	652,6875
65-69	7	67	469	95,0625	665,4375
70-74	6	72	432	22,5625	135,375
75-79	9	77	693	3,0625	27,5625
80-84	4	82	328	27,5625	110,25
85-89	10	87	870	105,0625	1050,625
90-94	1	92	92	232,5625	232,5625
jumlah	40		3070		2874,5
			$\bar{x}= \frac{3070}{40}=76,75$		$Var=\frac{2874,5}{40}=71,86$

maka

a)ragam atau varian $Var= 71,86$
b)simpangan baku $SB=\sqrt{Var}=8,48$