Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika 

Suatu barisan $u_1, u_2, …, u_n$ disebut barisan aritmatika jika mempunyai nilai beda yang tetap antara satu suku dengan satu suku berikutnya, yaitu

$u_{n}-u_{n-1}=b$

dengan $b$ bilangan tetap yang disebut beda, yang tidak tergantung pada $n$ 

Barisan ini mempunyai rumus suku ke-n: 

dimana 
$u_n$ : suku ke n 

$n = 1,2,3, …$ 

$a$ : suku awal 

$b$ : beda 

Contoh 1 . carilah suku pertama, beda dan suku ke-6 pada dua barisan berikut 

a) $5, 14, 23, …$ 

b) $4, 0, -4, -8, …$ 

Jawab: 
a) Suku pertama $a = 5$, beda $b = 14-5=9$ 
    Suku ke-6 

b) Suku pertama $a = 4$, beda $b = 0-4=-4$ 
    Suku ke-6 

Contoh 2. Suku kedua barisan aritmatika adalah 12, sedangkan suku ke-11 adalah 39. 

a) Carilah suku pertama dan bedanya 

b) Tentukanlah rumus suku ke-n nya 

Jawab: 

a) Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat $b=3$. 

Tukarkan $b=3$ ke persamaan (1) atau (2), didapat $a=9$. 

Jadi, suku pertamanya 9 dan bedanya 3 

b) rumus suku ke-n

Contoh 3(penerapan). Sebuah keluarga besar mempunyai 15 orang anak. Anak bungsunya berumur 10 tahun dan anak ke-10 nya berumur 20 tahun. 

a) Berapakah umur anak pertamanya?. 

b)Tuliskan barisan umur anak-anak kelurga tersebut 

Jawab: 
a) 

Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat $b=-2$. 

Tukarkan $b=-2$ ke persamaan (1) atau (2), didapat $a=38$. 

Jadi, anak pertamanya berumur 38 tahun. 

b) $38,36,34,32,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10 $

Suku tengah  

Perhatikan barisan-barisan aritmatika berikut. Banyak suku pada tiap barisan ini ganjil. 

a) $u_1, u_2, u_3$; banyak suku 3 dan suku tengahnya $u_2$. 

Suku tengah $u_2$ dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb: 

$u_2=a+b=\frac{1}{2}(2a+2b) =\frac{1}{2}(a+(a+2b))=\frac{1}{2}(u_1+u_3)$ 

b) $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$; banyak suku 5 dan suku tengahnya $u_3$. Suku tengah $u_3$ dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb: 

$u_3=a+2b=\frac{1}{2}(2a+4b) =\frac{1}{2}(a+(a+4b))=\frac{1}{2}(u_1+u_5)$ 

c) $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7$; banyak suku 7 dan suku tengahnya $u_4$. Suku tengah $u_4$ dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb: 

$u_4=a+3b=\frac{1}{2}(2a+6b) =\frac{1}{2}(a+(a+6b))=\frac{1}{2}(u_1+u_7)$ 

Secara umum untuk barisan aritmatika $u_1, … , u_k, … , u_{2k-1}$; banyak suku $2k-1, k>=2, k$ bilangan asli, suku tengahnya $u_k$ dapat dirumuskan sbb: 

Contoh 4. Diketahui barisan $3, 6, 9, …,153$. Banyak suku barusan itu ganjil.a)Cari suku tengahnya 

b)Suku ke berapakah itu ? 

c)Berapa banyak suku barisan itu ? 

Jawab: 
Diketahui $a = 3, b=3$, suku terakhir $ u_{2k-1}=153$

a)$u_k=\frac{1}{2}(u_1+u_{2k-1})=\frac{1}{2}(3+153)=\frac{156}{2}=78$ 

b) $u_k=a+b(k-1)=78$

    $3+3(k-1)=78$ 

    $3k=78$

    $k=\frac{78}{3}=26$

c) Banyak suku barisan itu $2k-1=2.26-1=52-1=51$ suku 

Sisipan 

Misalkan di antara dua bilangan ril $a$ dan $c$ ($a\neq c$) disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan ($k$ bilangan asli), sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Pertanyaannya adalah berapakah beda barisan aritmatika yang terbentuk itu ?. untuk menjawab pertanyaan itu, kita misalkan bedanya $b$. Dengan pemisalan itu, barisan aritmatika yang terbentuk dapat dinyatakan sbb: 

Untuk menentukan bedanya, kurangkan suku terakhir oleh suku sebelummya 

Contoh 5. Diantara bilangan 3 dan 30 disisipkan enam bilangan sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Cari beda barisan itu 

Jawab: 
Diketahui $a=3, c=30$ dan $k =6$ 

Deret aritmatika 

Jika barisan $u_1, u_2, …, u_n$ adalah barisan aritmatika maka $u_1 + u_2 +…+u_n$ adalah deret aritmatika. Jumlah $n$ suku pertama barisan aritmatika adalah 

$S_n = u_1 + u_2 +u…+ u_n$ 

Untuk mempermudah mendapatkan hasil $S_n$ dipakai metode berikut 

Selanjutnya gantikan $u_{n-1}$ oleh $u_n -b$ dan $u_{n-2}$ oleh $u_n -2b$

$S_n=a+(a+b)+(a+2b)+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n$ ............(1) 

Jika urutan penjumlahan pada (1) dibalik maka 

$S_n=u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+...+(a+2b)+(a+b)+a$ ............(2) 

Dengan menjumlahkan (1) dan (2) didapat 

Bentuk lainnya didapat dengan mengganti $u_n$ dengan suku deret aritmatika

Contoh 6. Tentukan jumlah 1000 suku pertama deret bilangan ganjil

a)      Memakai suku ke-n tanpa beda

b)      Memakai beda tanpa suku ke-n

Jawab:

Deret bilangan ganjil adalah $1+3+5+…+2n-1$.

$u_n = 2n-1, a=1, b=2$ dan $n=1000$.

a)  $S_{1000}=\frac{1000(1+2000-1)}{2}=500(2000)=1000000$

b) $S_{1000}=\frac{1000(2+(1000-1)(2)}{2}=500(2000)=1000000$