Cara Mendekati Akar Suatu Bilangan

Tip: Jika rumus tidak jelas pada tampilan mobile/hape, mintalah situs desktop/web pada browser Anda

Ada beberapa metode untuk mendekati akar bilangan, namun disini penulis akan menyampaikan metode yang efisien menurut ahli matematika dan sekaligus tertua di dunia matematika. Metode tersebut adalah metode pendekatan akar Babilonia (± 2700 SM).

       Metode pendekatan akar Babilonia aslinya tidak berbentuk rumus langsung, namun berupa langkah-langkah perintah yang secara umum adalah algoritma. Karena perintah-perintah yang jelas dan mudah dimengerti, maka dengan menggunakan aljabar dapat disingkat ke dalam sebuah rumus yang berbentuk barisan rekursi

               $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{a}{u_{n}})$

dimana:

$n = 1, 2, 3, ....$. Menyatakan banyak langkah pendekatan.

$u_1 = 1$          .   Menyatakan langkah pertama harus diisi dengan $1$.

$a : $bilangan yang didekati nilai akarnya.

Contoh . Mendekati $\sqrt{3}$
Diketahui $a = 3$

maka

$u_1 = 1$

$u_{2}=\frac{1}{2}(u_1+\frac{3}{u_1})=\frac{1}{2}(1+\frac{3}{1})=\frac{1}{2}(4) =2$

$u_{3}=\frac{1}{2}(u_2+\frac{3}{u_2})=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=\frac{1}{2}(\frac{7}{2}) =\frac{7}{4}$

$u_{4}=\frac{1}{2}(u_3+\frac{3}{u_3})=\frac{1}{2}(\frac{7}{4}+\frac{3}{\frac{7}{4}})=\frac{1}{2}(\frac{97}{28}) =\frac{97}{56}$

$u_{5}=\frac{1}{2}(u_4+\frac{3}{u_4})=\frac{1}{2}(\frac{97}{56}+\frac{3}{\frac{97}{56}})=\frac{1}{2}(\frac{18817}{5432})=\frac{18817}{10864}\\ ⇒u_5≅1,7320508100$

Sampai langkah ke-5 dulu dengan hasil pendekatan (teliti sampai 10 tempat desimal)

$\sqrt{3}≅1,7320508100$.

Sekarang kita bandingkan dengan nilai $\sqrt{3}$ dari kalkulator dengan ketelitian desimal yang sama yaitu 

$\sqrt{3}=1,7320508076$. 

Terlihat jelas galatnya sangat kecil, artinya nilai pendekatannya sudah sangat bagus. Tentu saja jika ingin pendekatannya lebih bagus harus dilanjutkan beberapa langkah berikutnya, namun jika ketelitian diinginkan sampai 5 desimal atau 6 desimal saja maka sampai langkah ke-5 sudah cukup.
        Banyak langkah pendekatan yang diperlukan akan berbeda-beda bagi tiap bilangan $\sqrt{a}$, semakin besar nilai $a$ maka semakin banyak langkah yang diperlukan. Untuk menentukan nilai pendekatan selain banyak langkah pendekatan yang diperlukan, faktor lainnya adalah ketelitian desimal yang diinginkan. Jika ketelitian desimal yang diinginkan tidak terlalu besar, maka banyak langkah pendekatan mungkin bisa dikurangi.