Blog pindah kesini (klik)--> websauri.blogspot.com

Monday, July 23, 2018

Induksi Matematika – langkah dan contohnya


Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian teorema, proposisi dan sejenisnya yang berangkat dari masalah-masalah khusus yang digeneralisasi menjadi kesimpulan umum. Pembuktian seperti ini pertama kali ditemukan oleh Blaise Pascal (Matematikawan Perancis, 1623 – 1662) dan Augustus De Morgan (Matematikawan Inggris, 1806 – 1871) menamainya induksi lengkap.


                Perhatikanlah jumlah n bilangan asli pertama yang dituliskan dalam notasi sigma.


Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, didapatkan bahwa jumlah n bilangan asli pertama itu dapat ditentukan dengan rumus


Suatu rumus umum yang berlaku untuk tiap n bilangan asli seperti rumus di atas, dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Adapun langkah-langkah induksi matematika adalah sebagai berikut:

Langkah 1:  

Tunjukkan bahwa S(n) benar untuk beberapa nilai pertama n misalnya untuk n=1 atau S(1) benar, n=2 atau S(2) benar, n=3 atau S(3) benar.



Langkah 2:  
Tunjukkan bahwa jika S(n)  benar untuk n=k maka  S(n) juga benar untuk n=k+1, atau jika S(k)  benar  maka S(k+1)  juga benar.

Contoh 1. Buktikan bahwa



Berlaku untuk semua n bilangan asli.



Jawab:



Langkah 1 :
Untuk n =1, diperoleh


Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.

Untuk n =2 , diperoleh


Jadi, S(n) benar untuk n = 2 atau S(2) benar.
Untuk n = 3 , diperoleh






Langkah 2 :
 untuk n = k , diperoleh 


Tetapkanlah S(n) benar untuk n = k atau S(k) benar.

Selanjutnya kita harusmenunjukkan bahwa S(n) juga benar untuk n = k+1





Jadi, karena s(n) benar untuk n = k maka s(n) juga benar untuk n = k+1.
Dengan demikian maka terbuktilah bahwa rumus S(n)


Berlaku untuk semua n bilangan asli.


Contoh 2. Buktikan bahwa 


Berlaku untuk semua n bilangan asli.



Jawab:



Langkah 1 :
Untuk n =1, diperoleh



Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.


Untuk n =2 , diperoleh






Jadi, S(n) benar untuk n = 2 atau S(2) benar.

Untuk n = 3 , diperoleh
 



Langkah 2 :
 untuk n = k , diperoleh 


Tetapkanlah S(n) benar untuk n = k atau S(k) benar.

Selanjutnya kita harusmenunjukkan bahwa S(n) juga benar untuk n = k+1





Jadi, karena s(n) benar untuk n = k maka s(n) juga benar untuk n = k+1.
Dengan demikian maka terbuktilah bahwa rumus S(n)


Berlaku untuk semua n bilangan asli.




No comments:

Post a Comment